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Les cadrans solaires


Introduction :

Le cadran solaire est l'un des plus anciens moyens de mesures du temps, il n'a que trois ancêtres : les Menhirs (dont des vestiges peuvent être vu en Bretagne), les Obélisques (monuments historiques égyptiens encore trouvables en Egypte, en France (Paris)…), et les gnomons. Ceux-ci sont les ancêtres directs du cadran solaire et se trouvent encore partout dans le monde (Amérique, Afrique, Bornéo…). En effet, un gnomon n'était qu'un simple bâton, planté verticalement dans le sol, en n'importe quel endroit, qui permettait d'observer le mouvement de l'ombre du soleil ou de la lune. Il servait aussi à effectuer des mesures astronomiques. Plus récemment, il a servi (lors de multiple mission Apollo) à orienter des instruments de mesures (de vents solaires, par exemple), et cela grâce à la comparaison entre la mesure de son ombre et de ses propres dimensions, qui permettait de trouver des angles d'inclinaison.

L'étude de sa technique, de ses significations et de son art constitue la Gnomonique. Les anciens attribuaient son invention à Anaximandre de Milet, vers l'an 600 avant Jésus-Christ, mais l'on sait maintenant que cette invention est beaucoup plus ancienne, sans toute fois pouvoir la dater précisément.

Tout comme le gnomon, le cadran solaire n'est pas daté. On sait simplement qu'après avoir remplacé le gnomon, celui-ci a été utilisé durant plusieurs siècles (des bergers du XIXème en possédaient même des portatifs), avant d'être lui-même remplacé par la clepsydre (horloge à eau) et mis au rang d'œuvre d'art.

Cet aspect artistique ne nous intéresse que pour la conception finale, c'est pourquoi nous nous préoccuperons en premier temps de la découverte scientifique.

Il existe différente sorte de cadran solaire : le cadran équatorial, polaire, hémisphérique, analemmatique, vertical, horizontal, multiples. Nous nous intéresserons exclusivement aux trois derniers.


I. Cadrans verticaux et horizontaux

Remarque: Le tracé des cadrans suivants est basé sur celui des cadrans équatoriaux dont le principe est que la ligne des douze heures est sur le méridien local et les lignes horaires formes des angles égaux de 15°.

A/ LES CADRANS VERTICAUX

Les cadrans verticaux sont les cadrans les plus répandus. Il n'est pas possible de les orienter selon le méridien local car très souvent tracés sur un mur, ils sont tributaires de son orientation. Cette orientation n'étant pas modifiable, c'est le tracé et la position du style qui seront modifiés en conséquence. On aura donc plusieurs types de cadrans verticaux :

~ plein sud ;
~ déclinant est ou ouest ;
~ occidentaux ( tournés vers l'ouest ) ;
~ orientaux ( tournés vers l'est )

1/ cadrans plein sud

Ce cadran est destiné à un mur parfaitement orienté est / ouest et donc perpendiculaire au méridien local.

Principe: La table est verticale et orientée est /ouest. Le style fait avec la table un angle égale au complément de la latitude. Il est situé dans le plan du méridien local, soit à l'aplomb de la ligne des douze heures. Les lignes horaires sont les projections verticales des lignes horaires du cadran équatorial.

2/ cadrans déclinants

Il s'agit de cadrans dont le plan n'est pas parfaitement est / ouest, mais fait avec cet axe un angle d ( déclinaison par rapport à est / ouest ).

Principe: La table est verticale et forme un angle d. Le style fait avec la table un angle égale au complément de la latitude du lieu, et dans le plan du méridien local. Les lignes horaires sont le rabattement du cadran horizontal du lieu.

3/ cadrans orientaux et occidentaux

Il s'agit de cadrans perpendiculaires à l'axe est / ouest ( parallèle au méridien de Greenwich ). Le cadran oriental donnera les heures jusqu'à midi, et le cadran occidental à partir de midi.

Principe: La table est verticale et dans le plan du méridien. Le style est parallèle à la table et à l'axe de la Terre. Les lignes horaires sont la projection orthogonale d'un cadran équatorial sur une ligne formant un angle égale au complément de la latitude du lieu avec l'horizontal.

B/ LES CADRANS HORIZONTAUX ET MULTIPLES

1/ cadran horizontal

Le cadran horizontal se pose sur le sol, sur un socle ou sur le bord d'une terrasse.

Principe: La table du cadran est horizontale. Le style fait avec la table un angle égale à la latitude du lieu. Les lignes horaires sont la projection des lignes horaires du cadran équatorial

2/ cadran multiple

On peut fabriquer deux types de cadrans multiples :

~équatoriaux- verticaux : les styles peuvent être dans le prolongement l'un de l'autre, les deux angles étant complémentaires.

~verticaux- horizontaux : les deux styles peuvent aussi être dans le prolongement l'un de l'autre. En effet, sur le cadran horizontal le style fait un angle égal à la latitude du lieu, et sur le vertical, l'angle complémentaire. Donc sur deux plans à angles droits, une tige transperçant l'angle droit formera des angles complémentaires. Les lignes des douze heures des deux cadrans sont dans le même plan. C'est de cette sorte de cadran que nous nous sommes inspirées pour la conception du notre.


II. Angles et déclinaisons de la terre

A/ DETERMINATION DES ANGLES

1/coordonnées du lieu

Un point quelconque du globe est défini par ses coordonnées : la latitude et la longitude.

a/ la latitude

C'est la distance angulaire d'un point donné à l'équateur. Elle donne les indications nécessaires à l'orientation du style et de la table du cadran. Elle est déterminée par les parallèles.

En France, la latitude varie de 42° à51°. On à l'habitude de considérer que le 45ème parallèle passe par Bordeaux. Dans des versions simplifiées de cadrans, on peut considérer 45° comme latitude moyenne de la France. L'erreur sera minime et la construction simplifiée.

Pour plus de précision, nous avons choisi d'utiliser la latitude de Paris : 49° (cadran horizontal).

b/ la longitude

Elle est déterminée par des lignes, les méridiens, qui sont de grands cercles passant par les pôles. Le méridien 0 est celui de Greenwich. Il est la référence à partir de laquelle l'heure légale est calculée. C'est le T.U : temps universel. Deux méridiens formant un secteur angulaire de 15° forme un fuseau horaire : A et B situés sur un même méridien auront la même heure.

Pour des raisons pratiques on a décidé qu'à l'intérieur d'un fuseau horaire, tous les points auraient la même heure. L'heure prise en référence est celle du méridien moyen. Mais au soleil il y aura une heure de différence entre le point A et le point C. Par rapport à M ( méridien de référence pour l'heure légale ), A aura 30min d'avance et C aura 30min de retard. Pour la France, la variation est de 50min entre Brest et Strasbourg.

Si aujourd'hui nous avons le temps universel et l'heure légale, il n'en a pas toujours été ainsi. C'est le temps solaire qui rythmait les jours de nos aïeux. L'heure variait d'une région à l'autre et chacun voyait midi à sa porte… sur son cadran solaire.

2/ détermination du méridien local

Le cadran devant être dans l'alignement du méridien, axé nord-sud, il est nécessaire de pouvoir déterminer le méridien. Pour cela il existe plusieurs procédés :

~ la boussole : c'est le moyen le plus simple. Elle donne le nord magnétique. La différence avec le nord géographique peut être considérée comme négligeable.

~ par visée de l'étoile polaire : c'est une méthode précise mais réservé aux spécialistes.

~ par mesure de la longueur de l'ombre : c'est un procédé qui permet de trouver par la même occasion le nord sans boussole. Pour se faire, il faut poser un carton blanc horizontalement et planter une tige rigide de 20cm de long environ. A intervalle régulier, le matin, tracer l'ombre de la tige. L'après- midi, relever l'ombre de la tige chaque fois qu'elle mesure la même longueur qu'une ombre du matin. Joindre les ombres de même longueur et tracer la médiatrice des segments obtenus. Ces médiatrices doivent se confondre avec l'ombre la plus courte : c'est le tracé du méridien local.

~ il existe un quatrième procédé qui consiste à prendre l'ombre d'un fil à plomb sur un sol horizontal à l'heure exacte du passage du soleil au méridien local. On trouve cette heure sur les éphémérides ( tables astronomiques donnant pour chaque jour de l'année la position des astres ).

B/ DECLINAISON DE LA TERRE

La longueur du style peut être quelconque et calculée seulement en fonction de l'esthétique du cadran. On peut souhaiter indiquer les périodes de l'année, les solstices et les équinoxes. C'est indication seront données par la longueur de l'ombre.

On peut procéder par relevé de chaque heure sur chaque ligne horaire à des dates précises :

~ équinoxe de printemps : 20 mars ;

~ équinoxe d'automne : 23 septembre ;

~ solstice d'été : 21 juin ;

~ solstice d'hiver : 21 décembre.

Mais on peut aussi déterminer la longueur de l'ombre de façon mathématique. La terre tourne sur son axe avec une inclinaison de 23°27' par rapport à la verticale, c'est la déclinaison. Cette déclinaison explique pourquoi les jours sont plus en été qu'en hiver dans l'hémisphère nord. Aux équinoxes, les rayons du soleil forment avec le style un angle de 90°. Aux solstices, cet angle mesure 23°27' de plus ou de moins : la déclinaison est maximum. On peut donc repérer la longueur de l'ombre d'un style aux équinoxes et aux solstices sur la ligne horaire des douze heures.



III. L'équation du temps

On appelle équation du temps la variation du passage du soleil en un point précis. L'orbite du soleil étant une ellipse dont le plan est incliné par rapport à l'équateur, les heures n'ont pas la même durée sur une année. Ceci provoque soit une avance, soit un retard du passage du soleil en un point donné. Ces variations se trouvent sur les éphémérides. La variation peut être négligée. Elle est de plus ou moins 15min environ par rapport au temps moyen, et ceci sur l'année.

Au cours d'une année, l'ensemble des positions du soleil, à une heure légale donnée, forme un 8. Pour observer ce phénomène, il existe un moyen simple. Cela consiste, après avoir trouver une place plane ensoleillée tout au long de l'année, à planter un gnomon d'environ un mètre dans le sol. Tous les 21 des mois ( le choix du jour étant aléatoire, nous avons choisi celui des solstices, qui correspondent aux extrémités du 8 ), à la même heure, il faut marquer l'extrémité de l'ombre. A la fin des douze mois, on verra apparaître la figure 8, dessinée par les marquages au sol.

Le soleil prend ce chemin étrange pour deux raisons différentes et indépendantes l'une de l'autre :

~ la Terre est inclinée sur son axe de 23°27' par rapport au plan de son orbite autour du soleil ;

~ la Terre ne tourne pas autour du soleil en faisant un cercle, mais en faisant une ellipse.

C'est l'addition de ces deux phénomènes qui donnent l'analemma.

1/ Effet de la trajectoire elliptique de la Terre autour du soleil

Imaginons que la Terre ne soit pas inclinée de 23°27' sur son axe, et que nous observions le soleil depuis l'équateur.

Si l'orbite de la Terre autour du soleil était circulaire, alors la vitesse de rotation serait constante, on la considèrerai comme vitesse moyenne. Cependant, à cause de sa trajectoire elliptique, la vitesse de la Terre varie durant l'année. Elle est plus rapide quand la Terre est plus près du soleil, en janvier, et plus lente quand la Terre est plus loin, en juillet. En d'autres termes, en janvier, elle serait plus rapide que la moyenne, et plus lente en juillet.

Sur une période d'un siècle environ, la configuration de l'analemma changera lentement, et donc l'équation du temps changera aussi. Pour le moment, on considère que le périhélie ( moment où la Terre est au plus près du soleil ) arrive autour du 2 janvier. Nous avons besoin de trouver l'angle a que la Terre fait avec le soleil après le périhélie, et de le comparer avec l'angle e que la Terre ferait avec le soleil si l'orbite était un cercle. Sur un jour "moyen", l'angle moyen serait de : 360°/365.24 (jours dans une année ), soit un angle de 0.986° par jour.

Etant donné que la Terre se déplace plus vite certains jours et moins vite les autres jours, nous voulons trouver la différence entre ces jours et la comparer avec un jour "moyen". La méthode pour trouver l'angle que la Terre fait avec le soleil sur une orbite elliptique est la suivante :

Angle moyen =0.986° par jour ;
N= nombre de jour depuis le périhélie, donc :
E=0.986N
e= 0.016713 (une mesure de la forme de l'ellipse), donc :
a=E+360/pi e sinE soit a=E+1.915 sinE ( cette formule n'est qu'une approximation ! )

Pour convertir cet angle en temps simplement. La Terre tourne approximativement de 361° en 24 heures, et il y a 1440 minutes en 24 heures, donc :

1440/361=3.989 minutes par degrés de rotation

Exemple :

De combien la position du soleil est-elle décalée par rapport à l'heure de notre montre, le 3 janvier, un jour après le périhélie ?

N=1
E=0.986N=0.986
a=0.986+1.915 sin0.986
a=1.019
E-a=-0.033
-0.033 x 3.989=-0.13 min ou -7.5 secondes

Ainsi, l'équation du temps sera négative, et égale à -7.5 seconds.

Il ne faut pas oublier que la différence de temps s'accumule. Au bout de trois mois, le décalage atteint 8min environ.

2/ l'équation du temps

L'analemma et l'équation du temps sont les résultants de l'addition de l'orbite elliptique de la Terre autour du soleil et de l'inclinaison de la Terre sur son axe par rapport au plan de son orbite autour du soleil. Les courbes suivantes montrent l'effet de cette addition ( voir page annexe courbe 1 ).

Ces courbes représentent le mouvement du soleil dû à l'inclinaison de la Terre, le mouvement du soleil dû à l'orbite elliptique, et la composée de ces deux fonctions, le tout au cours d'une année. Ces mouvements font varier l'équation du temps de plus ou moins 15min.

La courbe analemma ( courbe 2 ) montre la position du soleil dans le ciel au cours d'une année. L'axe des ordonnées de la courbe représente la déclinaison du soleil durant une année, allant de -23°27' en hiver à +23°27' en été. L'axe des abscisses représente la différence en temps entre l'heure que nous lisons sur nos montres et l'actuelle position du soleil dans le ciel. Cela démontre pourquoi le jour le plus long de l'année se situe au alentour du 21 juin, le plus tard couché du soleil a lieu quelque jour plus tard. Au sommet de la courbe 2, nous pouvons voir plus de mouvement latéral du soleil que de mouvement descendant. L'effet inverse arrive en hiver. Alors que le jour le plus court se situe au alentour du 21 décembre, le plus tard lever du soleil n'arrivera que quelque jour plus tard.

Conclusion:

Le cadran solaire a plusieurs utilité. De nos jours, il est plus connu pour son aspect décoratif, mais comme nous l'avons vu, il n'en a pas toujours été ainsi. Lui et son ancêtre le gnomon on beaucoup servi pour des études scientifiques comme celle de l'équation du temps et sa représentation graphique en analemma. Nous avons choisi de construire un cadran multiple horizontal et vertical pour illustrer notre dossier. Les étapes de la construction sont relater dans notre cahier de bord.

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